【基础解系是啥】“基础解系”是线性代数中的一个重要概念，尤其在求解齐次线性方程组时经常被提到。它与“通解”密切相关，是理解线性方程组解结构的关键。下面我们将从定义、作用、求法等方面进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、基础解系的定义
基础解系是指一个齐次线性方程组的所有解向量中，能够线性表示所有解的一组线性无关的解向量。换句话说，它是该方程组解空间的一组基。
二、基础解系的作用
| 作用 | 内容 |
| 表示所有解 | 基础解系可以用来表示齐次方程组的所有解 |
| 简化计算 | 通过基础解系可以快速写出通解 |
| 理解解空间 | 基础解系反映了方程组解的维数和结构 |
三、如何求基础解系
1. 写出系数矩阵：将齐次方程组写成矩阵形式 $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $。
2. 行简化矩阵：对系数矩阵进行初等行变换，化为行最简形。
3. 确定自由变量：根据主元位置，确定哪些变量是自由变量。
4. 设自由变量为参数：将自由变量设为任意实数（如 $ t_1, t_2, \dots $）。
5. 用主变量表示自由变量：将主变量用自由变量表示出来。
6. 得到基础解系：每个自由变量对应一个解向量，这些解向量构成基础解系。
四、举例说明
考虑以下齐次方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\
2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0
\end{cases}
$$
其系数矩阵为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -2
\end{bmatrix}
$$
经过行变换后，可得：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
主变量为 $ x_1 $，自由变量为 $ x_2 $ 和 $ x_3 $。
令 $ x_2 = s $，$ x_3 = t $，则有：
$$
x_1 = -s + t
$$
通解为：
$$
\mathbf{x} = s\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}
$$
因此，基础解系为：
$$
\left\{ \begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} \right\}
$$
五、总结对比表
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 齐次方程组解空间的一组线性无关解向量 |
| 作用 | 表示所有解、简化计算、理解解空间 |
| 求法 | 行变换、设自由变量、表达主变量 |
| 例子 | 可通过具体方程推导出一组基础解系 |
| 与通解关系 | 基础解系是通解的组成部分，通解由基础解系线性组合而成 |
六、小结
“基础解系”是理解齐次线性方程组解结构的核心工具。它不仅帮助我们找到所有可能的解，还能揭示解空间的维度和结构。掌握基础解系的概念和求法，对于学习线性代数至关重要。
