【等比数列和等差数列所有公式】在数学中，等差数列和等比数列是两种非常重要的数列类型，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。为了帮助大家更好地理解和掌握这两种数列的相关公式，本文将对它们的定义、通项公式、求和公式等内容进行系统总结，并以表格形式清晰呈现。
一、等差数列（Arithmetic Sequence）
定义：
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为“公差”，记作 $ d $。
常见公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 $ 为第一项，$ n $ 为第 $ n $ 项，$ d $ 为公差 |
| 求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n $ 为前 $ n $ 项和 |
| 中间项公式 | $ a_k = \frac{a_1 + a_n}{2} $ | 当 $ k = \frac{n+1}{2} $ 时成立（适用于奇数项） |
二、等比数列（Geometric Sequence）
定义：
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为“公比”，记作 $ r $。
常见公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ a_1 $ 为第一项，$ n $ 为第 $ n $ 项，$ r $ 为公比 | ||
| 求和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | $ S_n $ 为前 $ n $ 项和 | ||
| 无穷等比数列求和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 适用于无限项且公比绝对值小于1的情况 |
三、对比总结
| 特性 | 等差数列 | 等比数列 | ||
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 | ||
| 公差 | $ d $ | $ r $ | ||
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | ||
| 无穷求和 | 不适用（除非为0） | 当 $ | r | < 1 $ 时可求和 |
四、注意事项
1. 等差数列的公差可以是正数、负数或零，但若公差为零，则整个数列为常数列。
2. 等比数列的公比不能为零，否则所有后续项都为零；同时，若公比为1，则也为常数列。
3. 在使用求和公式时，需注意区分有限项和无限项的条件，特别是等比数列的无限求和必须满足 $
通过以上内容，我们可以清楚地了解等差数列和等比数列的基本性质及常用公式。掌握这些知识，有助于我们在实际问题中灵活运用数列的知识进行分析和计算。
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