【线性相关系数r公式】在统计学中，线性相关系数（通常用r表示）是衡量两个变量之间线性关系密切程度的一个重要指标。它可以帮助我们判断两个变量是否具有正相关、负相关或无相关的关系。r的取值范围在-1到+1之间，数值越接近±1，说明相关性越强；接近0则说明相关性越弱。
以下是对线性相关系数r公式的总结，以及其计算步骤和实际应用的简要说明。
一、线性相关系数r的基本概念
| 概念 | 说明 |
| 线性相关系数r | 衡量两个变量间线性关系的强度和方向的统计量 |
| 取值范围 | -1 ≤ r ≤ 1 |
| 相关性强弱 | r越接近±1，相关性越强；r接近0，相关性越弱 |
| 正相关 | r > 0，表示一个变量增加，另一个变量也倾向于增加 |
| 负相关 | r < 0，表示一个变量增加，另一个变量倾向于减少 |
| 无相关 | r ≈ 0，表示两变量间没有明显的线性关系 |
二、线性相关系数r的计算公式
线性相关系数r的计算公式如下：
$$
r = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}
$$
其中：
- $ n $ 是样本容量；
- $ x $ 和 $ y $ 分别是两个变量的观测值；
- $ \sum xy $ 是x与y乘积的总和；
- $ \sum x $ 和 $ \sum y $ 是x和y的总和；
- $ \sum x^2 $ 和 $ \sum y^2 $ 是x和y平方的总和。
三、计算步骤简述
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 收集数据，列出x和y的对应值 |
| 2 | 计算$ \sum x $, $ \sum y $, $ \sum xy $, $ \sum x^2 $, $ \sum y^2 $ |
| 3 | 将上述结果代入r的公式进行计算 |
| 4 | 根据计算出的r值判断相关性方向和强度 |
四、实际应用示例（简化）
假设有一组数据如下：
| x | y |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
根据公式计算得：
$ n = 4 $
$ \sum x = 10 $, $ \sum y = 20 $
$ \sum xy = 1×2 + 2×4 + 3×6 + 4×8 = 2 + 8 + 18 + 32 = 60 $
$ \sum x^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 $
$ \sum y^2 = 4 + 16 + 36 + 64 = 120 $
代入公式：
$$
r = \frac{4×60 - (10×20)}{\sqrt{[4×30 - (10)^2][4×120 - (20)^2]}} = \frac{240 - 200}{\sqrt{(120 - 100)(480 - 400)}} = \frac{40}{\sqrt{20×80}} = \frac{40}{\sqrt{1600}} = \frac{40}{40} = 1
$$
这表明x和y之间存在完全正相关关系。
五、注意事项
| 注意事项 | 说明 |
| 线性相关 ≠ 因果关系 | 相关性不等于因果性，需结合其他分析判断 |
| 只适用于线性关系 | 如果变量间是非线性关系，r可能无法准确反映相关性 |
| 数据质量影响结果 | 异常值或数据缺失可能导致r值失真 |
| 适用范围有限 | r适用于连续型变量，对分类变量不适用 |
通过以上内容，我们可以更全面地理解线性相关系数r的定义、公式、计算方法及其实际意义。在实际数据分析中，合理使用r可以为决策提供有力支持。
