【双曲函数的公式】双曲函数是数学中一类重要的函数，它们与三角函数类似，但定义基于指数函数而不是单位圆。双曲函数在物理、工程和数学分析中有着广泛的应用，尤其是在解决微分方程和描述某些几何形状时。以下是对常见双曲函数公式的总结。
一、基本双曲函数
双曲函数主要包括以下六种：
| 函数名称 | 符号表示 | 定义式 |
| 双曲正弦 | sinh(x) | $\frac{e^x - e^{-x}}{2}$ |
| 双曲余弦 | cosh(x) | $\frac{e^x + e^{-x}}{2}$ |
| 双曲正切 | tanh(x) | $\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ |
| 双曲余切 | coth(x) | $\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$ |
| 双曲正割 | sech(x) | $\frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$ |
| 双曲余割 | csch(x) | $\frac{1}{\sinh(x)} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$ |
二、双曲函数的恒等式
双曲函数之间也存在一些类似于三角函数的恒等关系，例如：
- $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
- $1 - \tanh^2(x) = \text{sech}^2(x)$
- $\coth^2(x) - 1 = \text{csch}^2(x)$
这些恒等式在简化表达式和求解问题时非常有用。
三、双曲函数的导数
双曲函数的导数形式相对简单，如下所示：
| 函数名称 | 导数 |
| sinh(x) | cosh(x) |
| cosh(x) | sinh(x) |
| tanh(x) | 1 - tanh²(x) 或 sech²(x) |
| coth(x) | 1 - coth²(x) 或 -csch²(x) |
| sech(x) | -sech(x)·tanh(x) |
| csch(x) | -csch(x)·coth(x) |
四、反双曲函数（逆双曲函数）
反双曲函数是双曲函数的逆函数，其定义如下：
| 函数名称 | 符号表示 | 定义式 | ||
| 反双曲正弦 | sinh⁻¹(x) | $\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ | ||
| 反双曲余弦 | cosh⁻¹(x) | $\ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$（x ≥ 1） | ||
| 反双曲正切 | tanh⁻¹(x) | $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$（ | x | < 1） |
| 反双曲余切 | coth⁻¹(x) | $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$（ | x | > 1） |
| 反双曲正割 | sech⁻¹(x) | $\ln\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)$（0 < x ≤ 1） | ||
| 反双曲余割 | csch⁻¹(x) | $\ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}\right)$（x ≠ 0） |
五、应用简述
双曲函数常用于描述悬链线、热传导、电磁场等问题。它们还出现在相对论和量子力学中，特别是在描述洛伦兹变换和波动方程时。由于其与指数函数的关系，双曲函数在数值计算和信号处理中也有重要应用。
通过上述内容可以看出，双曲函数虽然与三角函数相似，但在定义和性质上有着明显的区别。掌握这些公式有助于更深入地理解相关领域的数学模型和实际问题。
